Calculo Valor Propio

      Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.

Cálculo simbólico

Cálculo de los valores propios

Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que λ es un valor propio de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones linealesA v = λ v → A v - λ v = 0 (factorizando por v queda) (A - λI) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:

La función p(λ) = det(A - λI) es un polinomio de λ pues los determinantes se definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de supolinomio característico.

Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la ecuación .

Si A es una matriz n×n, entonces  tiene grado n y A tiene como máximo n valores propios.

El teorema fundamental del álgebra dice que esta ecuación tiene exactamente n raíces (ceros), teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los polinomios reales de grado impar tienen un número real como raíz, así que para n impar toda matriz real tiene al menos valor propio real. En el caso de las matrices reales, para n par e impar, los valores propios no reales son pares conjugados.