Ejemplos Valor propio ~ Vector y Valores Propios

Ejemplos Valor propio

Ejemplo de matriz sin valores propios reales

Un ejemplo de matriz sin valores propios reales es la rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj:

\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}

cuyo polinomio característico es

-\lambda^2-1

y sus valores propios son el par de conjugados complejos i, -i. Los vectores propios asociados tampoco son reales.

Ejemplo

Considérese la matriz

A = \begin{bmatrix} \; 0 & 1 & -1 \\ \; 1 & 1 & \; 0 \\ -1 & 0 & \; 1 \end{bmatrix}

que representa un operador lineal R³ → R³. Si se desea computar todos los valores propios de A, se podría empezar determinando el polinomio característico:

p(x) = \det( A - xI) =\det \begin{vmatrix} -x & 1 & -1\;\; \\ \;\;1 & 1\!-\!x & 0 \\ -1 & 0 & 1\!-\!x \end{vmatrix}

= -x^3 + 2x^2 + x - 2\

y porque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) se ve que los valores propios de A son 2, 1 y -1. El teorema de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico. Es decir